[수학] 등차 수열

\(\mathbf{a_1}\) \(\scriptstyle\text{+d}\to\) \(\mathbf{a_2}\) \(\scriptstyle\text{+d}\to\) \(\mathbf{a_3}\) \(\scriptstyle\text{+d}\to\)  \(\mathbf{a_4}\)

앞의 수와 일정한 차이가 있는 수열을 '등차 수열'이라 합니다.

 

\(\mathbf{a_4} = \mathbf{a_1} +3d\)

등차 수열의 4번째 항 \(\mathbf{a_4}\)는 \(\mathbf{a_1}\)에 d를 4번 더한 값입니다.

\(\mathbf{a_1}\)을 초항, d를 공차라 합니다.

[등차 수열의 일반항]
\(\mathbf{a_n} = \mathbf{a_1} + (n - 1)d\) 

등차 수열의 합은 다음과 같이 구할 수 있습니다.

첫 항과 끝 항의 값을 알아야 합니다.
첫 항과 끝 항의 평균 값을 구합니다.
평균 값에 항의 개수를 곱합니다.
곱한 값을 2로 나눕니다.
즉, 등차 수열의 합은 다음과 같은 공식으로 표현할 수 있습니다.

합 = (첫 항 + 끝 항) × 항의 개수 ÷ 2

이 공식은 "가우스의 합"이라고도 불리며, 수열의 크기가 작을 때는 직접 덧셈을 통해 합을 구할 수 있지만, 크기가 큰 수열의 경우 이 공식을 사용하면 훨씬 빠르고 간편하게 합을 구할 수 있습니다.

예를 들어, 1부터 100까지의 합을 구하고 싶다면, 1부터 100까지의 등차 수열에서 첫 항은 1, 끝 항은 100, 항의 개수는 100이므로 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

 

합 = (1 + 100) × 100 ÷ 2 = 5050

 

따라서 1부터 100까지의 합은 5050입니다.

[등차 수열의 합]
\(\mathbf{S_n} = {{n(\mathbf{a_1} + \mathbf{a_n})}\over2}\) 

다음과 같이 사각형의 넓이로 생각하면 금방 왜 이런 결과가 나오는지 이해 할 수 있습니다.