[수학] 미분(Differential)

게임 개발/게임 수학

[수학] 미분(Differential)

지노윈 2023. 3. 27. 22:22

미분은 영어로 differential(차이) 이고, 한자로는 잘게 나누다는 뜻입니다.

미분 이해의 열쇠는 평균 변화율입니다.
그리고 또하나의 열쇠는 극한입니다.
극한을 이해하지 않고 미분·적분을 제대로 이해 할 수 없습니다.
극한을 이해 하는 이해하는 것은 $\infty$(무한대)를 이해하는 것입니다.

미분은 문자 그대로 '미세하게 나눈다'는 말입니다.
즉, 미분은 함수를 한없이 작게 나누는 분석입니다.

무한대는 문자 그대로 '끝없이 크다'는 말인데 이를 상상하기 가장 쉬운 것이 바로 '등차 수열'과 '등비 수열'입니다.

다음의 등차 수열 관련 정의가 낯설다면 다음 글을 참고하세요. : [게임 개발/게임 수학] - 등차 수열

[등차 수열의 일반항]
$\mathbf{a_n} = \mathbf{a_1} + (n - 1)d$

[등차 수열의 합]
$\mathbf{S_n} = {{n(\mathbf{a_1} + \mathbf{a_n})}\over2}$

다음의 등비 수열 관련 정의가 낯설다면 다음 글을 참고하세요. : [게임 개발/게임 수학] - 등비 수열

[등비 수열의 일반항]
$\mathbf{a_n} = \mathbf{a_1}r^{n-1}$

[등비 수열의 합]
$\mathbf{S_n} = {{\mathbf{a_1}(1-r^n)}\over{1-r}}$ (단, $r\ne1$)

수열의 극한

일반항이 $a_n = 2-{1\over2^n}$인 수열이 있습니다.
n에 여러 값을 넣어 계산해보면 다음과 같습니다.
$(n=3) a_3 = 2-{1\over2^3} = 1.875$
$(n=5) a_3 = 2-{1\over2^5} = 1.96875$
$(n=10) a_3 = 2-{1\over2^10} = 1.9990234375$
$(n=30) a_3 = 2-{1\over2^30} = 1.99999999907$
n이 커지면 2에 점점 가까워집니다. 그렇지만 2는 아닙니다.

$a_n \doteqdot 2$

2는 아니고 거의 2이다'라고 표현하니 뭔가 답답하여 새로운 표현 방법을 도입 하였습니다.
이것이 바로 극한 $lim$입니다.
$lim$을 붙이고 $\doteqdot$ 대신에 $=$를 사용 할 수 있도록하였습니다.

$lim_{n \to \infty}a_n = 2$

이것이 바로 '극한'입니다.
극한($lim$)에서 $=$은 명확히 정해진 목적지가 있음을 뜻하는 것이지 같다는 의미가 아님을 유념해야 겠습니다.

미분 계수

x의 변화량(b-a)를 한없이 작게 만들었을 때 두 점을 연결하는 직선의 기울기가 어떻게 변하는지를 보여줍니다.

붉은색 직선 AB는 결국 파란색 직선에 가까워집니다.
파란색 직선은 무엇일까요? 점 A의 접선입니다.

미분 계수의 정의 : 평균변화율에서 x의 변화량이 (b-a)를 한없이 작게 만들면 도달하는 접선의 기울기를 미분 계수라고 부르고 $f^\prime(a)$로 표기합니다.

$b-a$를 한없이 작게 만든다는 말은 $b$를 한없이 $a$에 가깝게 만드는 것과 같습니다.

[미분 계수]
$$f^\prime(a)=\lim_{b \to a}{f(b)-f(a)\over b-a}$$
b-a=h라 하면 b=a+h가 되고 $b \to a$일때 $h \to 0$이므로 다음과 같이 표현 할 수 있다.
$$f^\prime(a)=\lim_{h \to 0}{f(a+h)-f(a) \over h}$$
두 번째 식이 더 많이 사용됩니다.

미분 계수의 응용

비탈길을 굴러 떨어지는 공의 이동 거리가 다음과 같이 시간 t[초]의 함수입니다. t =2[초]일 때 순간 속력을 구하세요.
$$ f(t)={1\over4}t^2 $$

$$ f\prime(2)=\lim_{b\to2}{f(b)-f(2)\over b-2} $$
$$ =\lim_{b\to2}{{1\over4}b^2-{1\over4}2^2 \over b-2} $$
$$ =\lim_{b\to2}{{1\over4}(b^2-2^2) \over b-2} $$
$$ =\lim_{b\to2}{\cancel{(b-2)}(b+2) \over 4\cancel{(b-2)}} $$
$$ =\lim_{b\to2}{b+2\over4} $$
$$ ={2+2\over4} $$
$$ =1 [{m\over 초}] $$
따라서 2초일 때 공의 순간 속력은 1m임을 알 수 있습니다.

미분 계수를 구할 때 극한으로 일일이 식을 나열하여 계산하기는 너무 귀찮습니다.
$f(x)=x^2$이나 $f(x)=x^3$등으르 일반화 해서(n에 관한 식으로 나타내서)
$$ f(x)=x^n (n은 정수) $$
일 때 미분 계수가 어떻게 되는지 유도하겠습니다.
이를 유도하려면 이항정리를 알아야 하고 또 이를 알기위해서는 순열과 조합을 알아야 겠습니다.

다음의 식을 안다면 넘어가고 그렇지 않다면 순열(Permutation), 조합(Combination) 글을 살펴봐 주세요.
$$ {_n}C{_r} = {{_n}P{_r} \over r!} $$

$$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^2$$

이 전개식에서 $a^2b$에 대해 생각해 봅시다.
계수가 3인 이유는 3개의 (a+b)에서 b를 꺼내는 (a+b)를 1개 뽑는 경우의 수가 3이기 때문입니다. 즉, $_3C_1$ = 3입니다.

그러면 $(a+b)^10$에서 $a^7b^3$의 계수는 무엇을까요?
같은 이유로 $_10C_3$입니다.

[이항계수]
$$ (a+b)^n을 전개한 식에서 a^{n-k}b^k의 계수는 _nC_k $$

이항계수를 사용하면 $(a+b)^n$은 다음과 같이 전해 할 수 있습니다.

[이항정리]
$$(a+b)^n=_nC_0a^n+_nC_1a^{n-1}b+_nC_2a^{n-2}b^2+......+_nC_ka^{n-k}b^k+......+_nC_nb^n$$

이것이 이항정리 입니다.

미분 계수 공식 유도하자

이제 거의 다 왔습니다.
$$f(x)=x^n$$
일 때 $x=a$에서의 미분계수 $f\prime(a)$를 유도해 봅시다.

위에서 미분 계수 2 번째 공식을 기억하시죠?
$$f^\prime(a)=\lim_{h \to 0}{f(a+h)-f(a) \over h}$$
$f(x)=x^n$이므로 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
$$f^\prime(a)=\lim_{h \to 0}{(a+h)^n-a^n \over h}$$
이항정리에서 봤던 $(a+h)^n$이 나왔습니다.
$$_nC_0=1$$
$$_nC_1={n\over1!}=n$$
$$_nC_2={n(n-1)\over2!}={n(n-1)\over2\times1}={n(n-1)\over2}$$
$$_nC_n=1$$

$_nC_0=0$이 아니라 1인 이유는 'n개 에서 1개도 뽑지 않는 경우의 수=n개에서 n개 전부를 남겨 놓는 경우의 수'라고 생각합니다. 즉 다음과 같습니다.
$$_nC_0=_nC_n=1$$

$$(a+h)^n=_nC_0a^n+_nC_1a^{n-1}h+_nC_2a^{n-2}h^2+......+_nC_ka^{n-k}h^k+......+_nC_nh^n$$
$$=1\cdot a^n+n\cdot a^{n-1}h+{n(n-1)\over2}\cdot a^{n-2}h^2\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot+1\cdot h^n$$
$$=a^n+na^{n-1}h+{n(n-1)\over2}a^{n-2}h^2\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot+h^n$$

$(a+h)^n$을 구했으니 다시 돌아가서 이 것을 대입합니다.
$$f^\prime(a)=\lim_{h \to 0}{(a+h)^n-a^n \over h}$$
$$=\lim{{\left\{a^n+na^{n-1}h+{n(n-1)\over2}a^{n-2}h^2\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot+h^n\right\}-a^n}\over h}$$
$a^n$ 상쇄
$$=\lim{na^{n-1}h+{n(n-1)\over2}a^{n-2}h^2\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot+h^n\over h}$$
h를 약분
$$=\lim a^{n-1}+{n(n-1)\over2}a^{n-2}h\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot+h^{n-1}$$
h에 0을 대입
$$na^{n-1}$$

[미분계수 공식]
$f(x)=x^n$일 때
$$f\prime(a)=na^{n-1}$$

그리고, 상수 함수의 접선의 기울기는 0이므로 미분 계수는 0입니다.

[상수함수의 미분계수]
$$f(x)=c \rightarrow f\prime(a)=0$$

도함수

$f\prime(a)$와 $f\prime(x)$
$f\prime(a)$에서 a는 1, 3, -0.5와 같은 상수입니다. $f\prime(a)$는 어떤 정해진 점에서 접선의 기울기가 됩니다.
$f\prime(a)$는 입력 a에 대한 출력, 다시말해 a의 함수입니다.
변수를 나타낼 때는 주로 $x$를 사용합니다. 애초에 $x$는 접점의 $x$좌표이므로 미분계수를 접점의 함수라고 할 수 있습니다. 그래서 이것을 기호로 $f\prime(x)$로 나타내며, 이름도 '미분계수를 $x$의 함수로 생각하는 것'은 길기 때문에 $f(x)$에서 유도되는 함수라는 의미를 담아 '도함수'가 되었습니다.

[도함수의 정의]
함수 $f(x)$에 대해
$$f^\prime(x)=\lim_{h \to 0}{f(x+h)-f(x) \over h}$$
로 구해지는 함수 $f\prime(x)$를 $f(x)$의 도함수라고 합니다.

[도함수 공식]
$$f(x)=x^n \rightarrow f\prime(x)=nx^{n-1}$$

함수 $f(x)$를 미분한다 = 도함수 $f\prime(x)$를 구한다

$$f(x)={1\over3}x^3-x+1$$
을 미분하면 다음과 같습니다.
$$f\prime(x)={1\over3}\cdot3x^2-1\cdot x^0+0$$
$$=x^2-1$$