[수학] 미분(Differential)

미분은 영어로 differential(차이) 이고, 한자로는 잘게 나누다는 뜻입니다.
 
미분 이해의 열쇠는 평균 변화율입니다.
그리고 또하나의 열쇠는 극한입니다.
극한을 이해하지 않고 미분·적분을 제대로 이해 할 수 없습니다.
극한을 이해 하는 이해하는 것은 $\mathrm{\infty }$(무한대)를 이해하는 것입니다.
 
미분은 문자 그대로 '미세하게 나눈다'는 말입니다.
즉, 미분은 함수를 한없이 작게 나누는 분석입니다.

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무한대는 문자 그대로 '끝없이 크다'는 말인데 이를 상상하기 가장 쉬운 것이 바로 '등차 수열'과 '등비 수열'입니다.
 
다음의 등차 수열 관련 정의가 낯설다면 다음 글을 참고하세요. : [게임 개발/게임 수학] - 등차 수열

[등차 수열의 일반항]
${\mathbf{a}}_{\mathbf{n}}={\mathbf{a}}_{\mathbf{1}}+(n-1)d$ 

[등차 수열의 합]
${\mathbf{S}}_{\mathbf{n}}=\frac{n({\mathbf{a}}_{\mathbf{1}}+{\mathbf{a}}_{\mathbf{n}})}{2}$ 

다음의 등비 수열 관련 정의가 낯설다면 다음 글을 참고하세요. : [게임 개발/게임 수학] - 등비 수열

[등비 수열의 일반항]
${\mathbf{a}}_{\mathbf{n}}={\mathbf{a}}_{\mathbf{1}}{r}^{n-1}$ 

[등비 수열의 합]
${\mathbf{S}}_{\mathbf{n}}=\frac{{\mathbf{a}}_{\mathbf{1}}(1-r^n)}{1-r}$ (단, $r\ne 1$)

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수열의 극한

일반항이 $a_n=2-\frac{1}{2^n}$인 수열이 있습니다.
n에 여러 값을 넣어 계산해보면 다음과 같습니다.
$(n=3)a_3=2-\frac{1}{2^3}=1.875$ 
$(n=5)a_3=2-\frac{1}{2^5}=1.96875$ 
$(n=10)a_3=2-\frac{1}{2^{1}0}=1.9990234375$ 
$(n=30)a_3=2-\frac{1}{2^{3}0}=1.99999999907$  
n이 커지면 2에 점점 가까워집니다. 그렇지만 2는 아닙니다.

$a_n\doteqdot 2$

2는 아니고 거의 2이다'라고 표현하니 뭔가 답답하여 새로운 표현 방법을 도입 하였습니다.
이것이 바로 극한 $lim$입니다.
$lim$을 붙이고 $\doteqdot$ 대신에 $=$를 사용 할 수 있도록하였습니다.

$li{m}_{n\to \mathrm{\infty }}{a}_n=2$

이것이 바로 '극한'입니다.
극한($lim$)에서 $=$은 명확히 정해진 목적지가 있음을 뜻하는 것이지 같다는 의미가 아님을 유념해야 겠습니다.

미분 계수

x의 변화량(b-a)를 한없이 작게 만들었을 때 두 점을 연결하는 직선의 기울기가 어떻게 변하는지를 보여줍니다.

붉은색 직선 AB는 결국 파란색 직선에 가까워집니다.
파란색 직선은 무엇일까요? 점 A의 접선입니다.
 
미분 계수의 정의 : 평균변화율에서 x의 변화량이 (b-a)를 한없이 작게 만들면 도달하는 접선의 기울기를 미분 계수라고 부르고 $f^{\prime }(a)$로 표기합니다.
 
$b-a$를 한없이 작게 만든다는 말은 $b$를 한없이 $a$에 가깝게 만드는 것과 같습니다.

[미분 계수]
$$f^{\prime }(a)=\underset{b\to a}{lim}\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$
b-a=h라 하면 b=a+h가 되고 $b\to a$일때 $h\to 0$이므로 다음과 같이 표현 할 수 있다.
$$f^{\prime }(a)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$
두 번째 식이 더 많이 사용됩니다.

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미분 계수의 응용

비탈길을 굴러 떨어지는 공의 이동 거리가 다음과 같이 시간 t[초]의 함수입니다. t =2[초]일 때 순간 속력을 구하세요.
$$f(t)=\frac{1}{4}{t}^2$$

$$f\prime (2)=\underset{b\to 2}{lim}\frac{f(b)-f(2)}{b-2}$$
$$=\underset{b\to 2}{lim}\frac{\frac{1}{4}{b}^2-\frac{1}{4}{2}^2}{b-2}$$
$$=\underset{b\to 2}{lim}\frac{\frac{1}{4}(b^2-2^2)}{b-2}$$
$$=\underset{b\to 2}{lim}\frac{\cancel{(b-2)}(b+2)}{4\cancel{(b-2)}}$$
$$=\underset{b\to 2}{lim}\frac{b+2}{4}$$
$$=\frac{2+2}{4}$$
$$=1[\frac{m}{초}]$$
따라서 2초일 때 공의 순간 속력은 1m임을 알 수 있습니다.

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미분 계수를 구할 때 극한으로 일일이 식을 나열하여 계산하기는 너무 귀찮습니다.
$f(x)=x^2$이나 $f(x)=x^3$등으르 일반화 해서(n에 관한 식으로 나타내서)
$$f(x)=x^n(n은정수)$$
일 때 미분 계수가 어떻게 되는지 유도하겠습니다.
이를 유도하려면 이항정리를 알아야 하고 또 이를 알기위해서는 순열과 조합을 알아야 겠습니다.
 
다음의 식을 안다면 넘어가고 그렇지 않다면 순열(Permutation), 조합(Combination) 글을 살펴봐 주세요.
$${}_{n}C{}_r=\frac{{}_{n}P{}_r}{r!}$$
 

$$(a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^2$$

이 전개식에서 $a^{2}b$에 대해 생각해 봅시다.
계수가 3인 이유는 3개의 (a+b)에서 b를 꺼내는 (a+b)를 1개 뽑는 경우의 수가 3이기 때문입니다. 즉, ${}_3{C}_1$ = 3입니다.
 
그러면 $(a+b{)}^{1}0$에서 $a^7{b}^3$의 계수는 무엇을까요?
같은 이유로 ${}_{1}0C_3$입니다.
 

[이항계수]
$$(a+b{)}^n을전개한식에서a^{n-k}{b}^k의계수{는}_n{C}_k$$

이항계수를 사용하면 $(a+b{)}^n$은 다음과 같이 전해 할 수 있습니다.

[이항정리]
$$(a+b{)}^n{=}_n{C}_0{a}^n{+}_n{C}_1{a}^{n-1}b{+}_n{C}_2{a}^{n-2}{b}^2+......{+}_n{C}_k{a}^{n-k}{b}^k+......{+}_n{C}_n{b}^n$$

이것이 이항정리 입니다.
 

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미분 계수 공식 유도하자

이제 거의 다 왔습니다. 
$$f(x)=x^n$$
일 때 $x=a$에서의 미분계수 $f\prime (a)$를 유도해 봅시다.
 
위에서 미분 계수 2 번째 공식을 기억하시죠?
$$f^{\prime }(a)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$
$f(x)=x^n$이므로 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
$$f^{\prime }(a)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{(a+h{)}^n-a^n}{h}$$
이항정리에서 봤던 $(a+h{)}^n$이 나왔습니다.
$${}_n{C}_0=1$$
$${}_n{C}_1=\frac{n}{1!}=n$$
$${}_n{C}_2=\frac{n(n-1)}{2!}=\frac{n(n-1)}{2\times 1}=\frac{n(n-1)}{2}$$
$${}_n{C}_n=1$$

${}_n{C}_0=0$이 아니라 1인 이유는 'n개 에서 1개도 뽑지 않는 경우의 수=n개에서 n개 전부를 남겨 놓는 경우의 수'라고 생각합니다. 즉 다음과 같습니다.
$${}_n{C}_0{=}_n{C}_n=1$$

$$(a+h{)}^n{=}_n{C}_0{a}^n{+}_n{C}_1{a}^{n-1}h{+}_n{C}_2{a}^{n-2}{h}^2+......{+}_n{C}_k{a}^{n-k}{h}^k+......{+}_n{C}_n{h}^n$$
$$=1\cdot a^n+n\cdot a^{n-1}h+\frac{n(n-1)}{2}\cdot a^{n-2}{h}^2\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot +1\cdot h^n$$
$$=a^n+n{a}^{n-1}h+\frac{n(n-1)}{2}{a}^{n-2}{h}^2\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot +h^n$$
 
$(a+h{)}^n$을 구했으니 다시 돌아가서 이 것을 대입합니다.
$$f^{\prime }(a)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{(a+h{)}^n-a^n}{h}$$
$$=lim\frac{\{a^n+n{a}^{n-1}h+\frac{n(n-1)}{2}{a}^{n-2}{h}^2\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot +h^n\}-a^n}{h}$$
$a^n$ 상쇄
$$=lim\frac{n{a}^{n-1}h+\frac{n(n-1)}{2}{a}^{n-2}{h}^2\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot +h^n}{h}$$
h를 약분
$$=lim{a}^{n-1}+\frac{n(n-1)}{2}{a}^{n-2}h\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot +h^{n-1}$$
h에 0을 대입
$$n{a}^{n-1}$$
 

[미분계수 공식]
$f(x)=x^n$일 때
$$f\prime (a)=n{a}^{n-1}$$

그리고, 상수 함수의 접선의 기울기는 0이므로 미분 계수는 0입니다.

[상수함수의 미분계수]
$$f(x)=c\to f\prime (a)=0$$

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도함수

$f\prime (a)$와 $f\prime (x)$
$f\prime (a)$에서 a는 1, 3, -0.5와 같은 상수입니다. $f\prime (a)$는 어떤 정해진 점에서 접선의 기울기가 됩니다.
$f\prime (a)$는 입력 a에 대한 출력, 다시말해 a의 함수입니다.
변수를 나타낼 때는 주로 $x$를 사용합니다. 애초에 $x$는 접점의 $x$좌표이므로 미분계수를 접점의 함수라고 할 수 있습니다. 그래서 이것을 기호로 $f\prime (x)$로 나타내며, 이름도 '미분계수를 $x$의 함수로 생각하는 것'은 길기 때문에 $f(x)$에서 유도되는 함수라는 의미를 담아 '도함수'가 되었습니다.

[도함수의 정의]
함수 $f(x)$에 대해
$$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$
로 구해지는 함수 $f\prime (x)$를 $f(x)$의 도함수라고 합니다.

[도함수 공식]
$$f(x)=x^n\to f\prime (x)=n{x}^{n-1}$$

함수 $f(x)$를 미분한다 = 도함수  $f\prime (x)$를 구한다
 
$$f(x)=\frac{1}{3}{x}^3-x+1$$
을 미분하면 다음과 같습니다.
$$f\prime (x)=\frac{1}{3}\cdot 3x^2-1\cdot x^0+0$$
$$=x^2-1$$