집합의 체(Field)

체(Field)?

대수적 구조의 하나로, 간단히 말해 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈의 사칙연산을 집합 안에서 소화할 수 있는 집합을 의미한다. 연산을 통해 나온 값 또한 해당 집합의 원소여야 한다는 뜻.[1] 가장 간단한 체의 예시로는 유리수의 집합 \(\mathbb{Q}\), 실수의 집합 \(\mathbb{R}\), 복소수의 집합 \(\mathbb{C}\)가 있다. 그래서 이들이 체라는 것을 강조하고 싶을 때에는 각각 유리수체, 실수체, 복소수체라고 부르기도 한다.

그러나 정수의 집합 \(\mathbb{Z}\)는 체가 되지 않는데, 정수 사이의 덧셈, 뺄셈, 곱셈까지는 언제나 원활하게 수행할 수 있지만 아무런 두 정수나 뽑아서 나눗셈을 하였을 때에는 나누어 떨어지지 않는 경우도 있기 때문이다. 자연수의 집합 \(\mathbb{N}\)의 경우는 나눗셈은커녕 뺄셈조차도 불가능한 경우가 존재하므로 당연히 체가 되지 않는다.

어떤 집합 F가 체가 되기 위해서는 다음의 10가지 조건을 만족시켜야 한다.

1. 집합 F위에 덧셈과 곱셈이 정의되어 있다.
2. (A1) 덧셈에 대해 교환법칙이 성립한다.
3. (A2) 덧셈에 대해 결합법칙이 성립한다.
4. (A3) 덧셈의 항등원 0이 존재한다.
5. (A4) F의 모든 원소 a에 대해 역원 -a가 존재한다. 따라서 뺄셈도 항상 가능하다.[3]
6. (M1) 곱셈에 대해 교환법칙이 성립한다.
7. (M2) 곱셈에 대해 결합법칙이 성립한다. 따라서 곱셈만 있는 식에서도 괄호를 쓰지 않아도 된다.
8. (M3) 곱셈의 항등원 1이 존재한다.
9. (M4) F의 0이 아닌 모든 원소 a에 대해 역원 \(a^{-1}\)가 존재한다. 따라서 0 이외의 수로는 항상 나누기를 할 수 있다. 즉 체에서는 나머지가 존재해서는 안 된다.
10. (D) 덧셈과 곱셈에 대해 좌우 분배법칙이 모두 성립한다.

 

정수 \(\mathbb{Z}\)의 원소 a의 역원이 \(1\over a\)이며 \(1\over a\)는 정수가 아니기 때문에 9번의 공리를 만족하지 못하므로 체의 구조를 지니고 있지 않습니다.

유리수 \(\mathbb{Q}\), 실수 \(\mathbb{R}\)은 10가지 모두를 만족하며 체의 구조를 지니고 있습니다.

https://namu.wiki/w/%EC%B2%B4(%EB%8C%80%EC%88%98%ED%95%99) 

체(대수학) - 나무위키