[수학] 미분(Differential)

미분은 영어로 differential(차이) 이고, 한자로는 잘게 나누다는 뜻입니다.
 
미분 이해의 열쇠는 평균 변화율입니다.
그리고 또하나의 열쇠는 극한입니다.
극한을 이해하지 않고 미분·적분을 제대로 이해 할 수 없습니다.
극한을 이해 하는 이해하는 것은 \(\infty\)(무한대)를 이해하는 것입니다.
 
미분은 문자 그대로 '미세하게 나눈다'는 말입니다.
즉, 미분은 함수를 한없이 작게 나누는 분석입니다.

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무한대는 문자 그대로 '끝없이 크다'는 말인데 이를 상상하기 가장 쉬운 것이 바로 '등차 수열'과 '등비 수열'입니다.
 
다음의 등차 수열 관련 정의가 낯설다면 다음 글을 참고하세요. : [게임 개발/게임 수학] - 등차 수열

[등차 수열의 일반항]
\(\mathbf{a_n} = \mathbf{a_1} + (n - 1)d\) 

[등차 수열의 합]
\(\mathbf{S_n} = {{n(\mathbf{a_1} + \mathbf{a_n})}\over2}\) 

다음의 등비 수열 관련 정의가 낯설다면 다음 글을 참고하세요. : [게임 개발/게임 수학] - 등비 수열

[등비 수열의 일반항]
\(\mathbf{a_n} = \mathbf{a_1}r^{n-1}\) 

[등비 수열의 합]
\(\mathbf{S_n} = {{\mathbf{a_1}(1-r^n)}\over{1-r}}\) (단, \(r\ne1\))

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수열의 극한

일반항이 \(a_n = 2-{1\over2^n}\)인 수열이 있습니다.
n에 여러 값을 넣어 계산해보면 다음과 같습니다.
\((n=3) a_3 = 2-{1\over2^3} = 1.875\) 
\((n=5) a_3 = 2-{1\over2^5} = 1.96875\) 
\((n=10) a_3 = 2-{1\over2^10} = 1.9990234375\) 
\((n=30) a_3 = 2-{1\over2^30} = 1.99999999907\)  
n이 커지면 2에 점점 가까워집니다. 그렇지만 2는 아닙니다.

\(a_n \doteqdot 2\)

2는 아니고 거의 2이다'라고 표현하니 뭔가 답답하여 새로운 표현 방법을 도입 하였습니다.
이것이 바로 극한 \(lim\)입니다.
\(lim\)을 붙이고 \(\doteqdot\) 대신에 \(=\)를 사용 할 수 있도록하였습니다.

\(lim_{n \to \infty}a_n = 2\)

이것이 바로 '극한'입니다.
극한(\(lim\))에서 \(=\)은 명확히 정해진 목적지가 있음을 뜻하는 것이지 같다는 의미가 아님을 유념해야 겠습니다.

미분 계수

x의 변화량(b-a)를 한없이 작게 만들었을 때 두 점을 연결하는 직선의 기울기가 어떻게 변하는지를 보여줍니다.

붉은색 직선 AB는 결국 파란색 직선에 가까워집니다.
파란색 직선은 무엇일까요? 점 A의 접선입니다.
 
미분 계수의 정의 : 평균변화율에서 x의 변화량이 (b-a)를 한없이 작게 만들면 도달하는 접선의 기울기를 미분 계수라고 부르고 \(f^\prime(a)\)로 표기합니다.
 
\(b-a\)를 한없이 작게 만든다는 말은 \(b\)를 한없이 \(a\)에 가깝게 만드는 것과 같습니다.

[미분 계수]
$$f^\prime(a)=\lim_{b \to a}{f(b)-f(a)\over b-a}$$
b-a=h라 하면 b=a+h가 되고 \(b \to a\)일때 \(h \to 0\)이므로 다음과 같이 표현 할 수 있다.
$$f^\prime(a)=\lim_{h \to 0}{f(a+h)-f(a) \over h}$$
두 번째 식이 더 많이 사용됩니다.

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미분 계수의 응용

비탈길을 굴러 떨어지는 공의 이동 거리가 다음과 같이 시간 t[초]의 함수입니다. t =2[초]일 때 순간 속력을 구하세요.
$$ f(t)={1\over4}t^2 $$

$$ f\prime(2)=\lim_{b\to2}{f(b)-f(2)\over b-2} $$
$$ =\lim_{b\to2}{{1\over4}b^2-{1\over4}2^2 \over b-2} $$
$$ =\lim_{b\to2}{{1\over4}(b^2-2^2) \over b-2} $$
$$ =\lim_{b\to2}{\cancel{(b-2)}(b+2) \over 4\cancel{(b-2)}} $$
$$ =\lim_{b\to2}{b+2\over4} $$
$$ ={2+2\over4} $$
$$ =1 [{m\over 초}] $$
따라서 2초일 때 공의 순간 속력은 1m임을 알 수 있습니다.

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미분 계수를 구할 때 극한으로 일일이 식을 나열하여 계산하기는 너무 귀찮습니다.
\(f(x)=x^2\)이나 \(f(x)=x^3\)등으르 일반화 해서(n에 관한 식으로 나타내서)
$$ f(x)=x^n (n은 정수) $$
일 때 미분 계수가 어떻게 되는지 유도하겠습니다.
이를 유도하려면 이항정리를 알아야 하고 또 이를 알기위해서는 순열과 조합을 알아야 겠습니다.
 
다음의 식을 안다면 넘어가고 그렇지 않다면 순열(Permutation), 조합(Combination) 글을 살펴봐 주세요.
$$ {_n}C{_r} = {{_n}P{_r} \over r!} $$
 

$$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^2$$

이 전개식에서 \(a^2b\)에 대해 생각해 봅시다.
계수가 3인 이유는 3개의 (a+b)에서 b를 꺼내는 (a+b)를 1개 뽑는 경우의 수가 3이기 때문입니다. 즉, \(_3C_1\) = 3입니다.
 
그러면 \((a+b)^10\)에서 \(a^7b^3\)의 계수는 무엇을까요?
같은 이유로 \(_10C_3\)입니다.
 

[이항계수]
$$ (a+b)^n을 전개한 식에서 a^{n-k}b^k의 계수는 _nC_k $$

이항계수를 사용하면 \((a+b)^n\)은 다음과 같이 전해 할 수 있습니다.

[이항정리]
$$(a+b)^n=_nC_0a^n+_nC_1a^{n-1}b+_nC_2a^{n-2}b^2+......+_nC_ka^{n-k}b^k+......+_nC_nb^n$$

이것이 이항정리 입니다.
 

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미분 계수 공식 유도하자

이제 거의 다 왔습니다. 
$$f(x)=x^n$$
일 때 \(x=a\)에서의 미분계수 \(f\prime(a)\)를 유도해 봅시다.
 
위에서 미분 계수 2 번째 공식을 기억하시죠?
$$f^\prime(a)=\lim_{h \to 0}{f(a+h)-f(a) \over h}$$
\(f(x)=x^n\)이므로 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
$$f^\prime(a)=\lim_{h \to 0}{(a+h)^n-a^n \over h}$$
이항정리에서 봤던 \((a+h)^n\)이 나왔습니다.
$$_nC_0=1$$
$$_nC_1={n\over1!}=n$$
$$_nC_2={n(n-1)\over2!}={n(n-1)\over2\times1}={n(n-1)\over2}$$
$$_nC_n=1$$

\(_nC_0=0\)이 아니라 1인 이유는 'n개 에서 1개도 뽑지 않는 경우의 수=n개에서 n개 전부를 남겨 놓는 경우의 수'라고 생각합니다. 즉 다음과 같습니다.
$$_nC_0=_nC_n=1$$

$$(a+h)^n=_nC_0a^n+_nC_1a^{n-1}h+_nC_2a^{n-2}h^2+......+_nC_ka^{n-k}h^k+......+_nC_nh^n$$
$$=1\cdot a^n+n\cdot a^{n-1}h+{n(n-1)\over2}\cdot a^{n-2}h^2\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot+1\cdot h^n$$
$$=a^n+na^{n-1}h+{n(n-1)\over2}a^{n-2}h^2\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot+h^n$$
 
\((a+h)^n\)을 구했으니 다시 돌아가서 이 것을 대입합니다.
$$f^\prime(a)=\lim_{h \to 0}{(a+h)^n-a^n \over h}$$
$$=\lim{{\left\{a^n+na^{n-1}h+{n(n-1)\over2}a^{n-2}h^2\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot+h^n\right\}-a^n}\over h}$$
\(a^n\) 상쇄
$$=\lim{na^{n-1}h+{n(n-1)\over2}a^{n-2}h^2\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot+h^n\over h}$$
h를 약분
$$=\lim a^{n-1}+{n(n-1)\over2}a^{n-2}h\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot+h^{n-1}$$
h에 0을 대입
$$na^{n-1}$$
 

[미분계수 공식]
\(f(x)=x^n\)일 때
$$f\prime(a)=na^{n-1}$$

그리고, 상수 함수의 접선의 기울기는 0이므로 미분 계수는 0입니다.

[상수함수의 미분계수]
$$f(x)=c \rightarrow f\prime(a)=0$$

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도함수

\(f\prime(a)\)와 \(f\prime(x)\)
\(f\prime(a)\)에서 a는 1, 3, -0.5와 같은 상수입니다. \(f\prime(a)\)는 어떤 정해진 점에서 접선의 기울기가 됩니다.
\(f\prime(a)\)는 입력 a에 대한 출력, 다시말해 a의 함수입니다.
변수를 나타낼 때는 주로 \(x\)를 사용합니다. 애초에 \(x\)는 접점의 \(x\)좌표이므로 미분계수를 접점의 함수라고 할 수 있습니다. 그래서 이것을 기호로 \(f\prime(x)\)로 나타내며, 이름도 '미분계수를 \(x\)의 함수로 생각하는 것'은 길기 때문에 \(f(x)\)에서 유도되는 함수라는 의미를 담아 '도함수'가 되었습니다.

[도함수의 정의]
함수 \(f(x)\)에 대해
$$f^\prime(x)=\lim_{h \to 0}{f(x+h)-f(x) \over h}$$
로 구해지는 함수 \(f\prime(x)\)를 \(f(x)\)의 도함수라고 합니다.

[도함수 공식]
$$f(x)=x^n \rightarrow f\prime(x)=nx^{n-1}$$

함수 \(f(x)\)를 미분한다 = 도함수  \(f\prime(x)\)를 구한다
 
$$f(x)={1\over3}x^3-x+1$$
을 미분하면 다음과 같습니다.
$$f\prime(x)={1\over3}\cdot3x^2-1\cdot x^0+0$$
$$=x^2-1$$